Materi Ke-1 (Sistem Bilangan Real)

• Nama : Nuralifah Lutfiah Yunus

NIM    : 2017-31-369
Kelas  : A


PERTEMUAN 1 “SISTEM BILANGAN REAL”


Bilangan real :
 - bilangan irasional : adalah bilangan yang tidak memiliki pola perulangan
                           
 - bilangan rasional : adalah bilangan yang memiliki pola perulangan

Bilangan real : Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]


contoh :
B = {1,2,3,...}
Nyatakan himpunan B dalam notasi himpunan, garis himpunan, intrimum dan suprimum (min 2)
B = {X | X ≥ 1 , X є R} (1,2)
B = {X | > 0 , X є R} (0,2)


Sifat-sifat urutan dari  bilangan real adalah sebagai berikut:
1. Trikotomi : jika X dan Y adalah bilangan-bilangan, maka salah satu diantaranya pasti berlaku,seperti: X < Y atau X = Y atau X > Y
2. Ketransitifan : X < Y dan Y < Z maka X < Z
3. Penambahan : X < Y dan X + Z < Y + Z
4. Perkalian : bilamana Z positif, X < Y maka XZ < YZ
 bilamana Z negatif X < Y maka XZ > YZ

*Sifat keajaiban bilangan real :
1. hukum komulatif : X + Y = Y + X dan XY = YX
2. hukum asosiatif : X + (Y + Z) = (X + Y) + Z dan X (YZ) = (XY) Z
3. hukum distributif : X (Y + Z) = XY + XZ
4. elemen identitas : ->identitas penjumlahan = 0,X + 0 = X
                                           ->identitas perkalian = 1,X . 1 = X
5. balikan (invers) : ->penjumlahan = invers dari X adalah –X
                                            bukti = X + (-X) = identitas (0)
                                       ->perkalian = invers dari X adalah X¯¹
                                            Bukti = X . X¯¹ = identitas (1)


1. PERSAMAAN
* persamaan adalah suatu kalimat matematika yang memiliki variabel dengan tanda hubung “ = “ , sehingga memerlukan penyelesaian khusus  untuk mencari nilai variabel tersebut.

                  PERSAMAAN LINIER
1. Pengertian pers.linier : kalimat terbuka mengandung hubungan (relasi) sama dengan.
2. Persamaan linier satu variabel
Bentuk umum :
ax + b = 0                  Ket : a = koefisien variabel x
                                               x = variabel
                                               b = konstanta
a, b є R , a ≠ 0
contoh : 4x + 8 = 0
        pernyataan  menjadi benar jika nilai x adalah (-2)

3. Himpunan penyelesaian persamaan linier
     Contoh :
a.       2x + 4 = x + 7
2x – x = 7 – 4
         x = 3               Hp = {3}
b.      8x – 3 = 4 (x + 1) +5
8x – 3 = 4x + 4 + 5
8x – 3 = 4x + 9
8x–4x = 9 + 3
       4x = 12

         x = 3                Hp = {3}

2. PERTIDAKSAMAAN
* Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yang mempunyai variabel dengan menggunakan tanda penghubung “<, >, ≤, ≥, ≠”

Sifat-sifat Pertidaksamaan Matetamatika

Sobat hitung menjadi sangat penting untuk mengetahui sifat pertidaksamaan sebagai hal mendasar untuk mengerjakan berbagai macam soal. Berikut sifat-sifat dari pertidaksamaan matematika

1. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika sobat menambahkan atau  mengurangkan suatu pertidaksamaan dngan bilangan atau suatu ekspresi matemtaika tertentu

Jika a > b maka:
a+c > b+c ; a-c > b-c
Jika a<b maka:
a+c < b+c ; a-c < b-c
misalnya
x + 6 > 8 ⇒ x+6-6 > 8-6 ⇒ x > 2

2. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika sobat mengalikan atau membaginya dengan bilangan POSITIF

Jika a > b dan c > 0 maka
ac > bc dan a/c > b/c
milsalkan
4x ≥ 12, Jika sobat membagi masing masing ruas dengan angka 4 (positif) 4x/4 ≥ 12/ 4 ⇒ x  ≥ 3



3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan NEGATIF

Jika a > b dan c < 0 maka:
ac < bc dan a/c < b/c (amati bahwa tanda berbalik)
Banyak sobat hitung yang mungkin lupa dengan keharusan membalik tanda. Contohnya seperti berikut

-3x ≥ 9 untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut sobat harus membagi tiap ruas kanan dan kiri dengan -3 atau dengan kata lain mengalikan tiap ruas dengan -1/3. Karena dikali dengan bilangan negatif maka tanda wajib berbalik.
-3x ≥ 9 ⇒ -3x/-3 ≤ 9/-3 ⇒ x ≤ -3 (amati tanda berbalik)

4. Eksponen (Pemangkatan) Pertidaksamaan

Ada yang unik dari pemangkatan pertidaksamaan matematika, tanda pertidaksamaan berbalik tergantung dari ganjil atau genapanya pangkatnya.

jika  a > b > 0 maka
a2 > b2 > 0
a3 > b3 > 0
a4 > b4 > 0
a5 > b5 > 0
dan seterusnya. Secara umum an > bn ; a bilangan asli

jia a < b < 0 maka
a2 > b2 > 0
a3 < b3 < 0
a4 > b4 > 0
a5 < b5 < 0
dan seterusnya. Secara umum an > bn, jika n genap dan an < bn jika n ganjil