Materi Ke-12 (Penggunaan Turunan)

1. Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa:

• f(c) adalah nilai maksium f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimim atau nilai minimum

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maksimum dan minimum). 

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], ,maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Torema B

(Teorema Titik kritis) 

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. JIka f(c) adalh titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu:

• Titik ujung dari I 
• Titik stasioner dari f(f’(c)=0);
• Titik singular dari f(f’(c)tidak ada)

Titik kritis (Titik ujung, Titik stasioner dan Titik singular) merupakan titik kinci dari teori maksimum dan minimum 

2. Penggunaan turunan dalam menentukan kemotonan dan kecekungan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

• f adalah naik pada I jika uintuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂dalam I,

x₁ <>2 → f(x₁) <>2)

• f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x₁ <>2 → f(x₁) > f(x₂)

• f monoton murni pada I jika ia naik pada I

3. Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimim dan minimum lokal 

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

• f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;
• f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga F(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S ;
• f(c) nilai ekstrim local f jika ia beruapa nilai maksimum local atau minimum local.